funções e limites
Uma apresentação destes temas recorrentes em cursos universitários de todas as áreas

 ano 8  -  n.16  -   jul./dez. 2010 

por Daniel Perdigão

sxc.hu
 

A Álgebra é a área da Matemática que estuda as variáveis e as incógnitas, representadas por letras, assim como estuda as operações, as funções e as equações que as envolvem. O interesse na substituição de números por letras está na simplificação da escrita e na generalização dos cálculos e dos resultados obtidos. O próprio nome indica isto: álgebra vem do árabe al djabr, que significa "a redução". O Cálculo Diferencial e Integral (ou, simplesmente, Cálculo) faz parte da Álgebra e se desenvolve em torno de dois conceitos fundamentais: o conceito de função e o conceito de limite. Sobre estes dois conceitos falaremos agora.

Consideremos dois conjuntos A e B, não vazios. Chamamos função de A em B qualquer relação de A em B que associa a cada elemento de A um, e apenas um, elemento de B. Ou seja, todos os elementos de A devem estar associados a algum elemento de B, e um elemento de A não pode estar associado a mais de um elemento de B.

Em uma analogia razoável, podemos pensar no conceito de função como o de uma máquina da linha de produção de uma indústria, onde A é o conjunto das possíveis matérias-primas da máquina, e B, o conjunto dos potenciais produtos finais. Podemos, portanto, escolher livremente o elemento de A a ser introduzido na função (máquina), e o produto final depende de qual matéria-prima escolhemos.

A associação de um elemento de A com o respectivo elemento de B forma pares ordenados (x, y), em que x é elemento de A e y é elemento de B. Assim, temos que y está em (ou é) função de x, uma vez que y é determinado pelo x. Também dizemos que x é variável independente e y é variável dependente. Limitaremo-nos a tratar, aqui, de funções com uma única variável independente e única dependente, embora existam funções com qualquer número de variáveis.

Chamamos, então, o conjunto A de domínio da função. Trata-se do conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados que pertencem à função f, ou seja, o conjunto dos valores de x possíveis ou permitidos para aquela função. O conjunto B, por sua vez, é o contradomínio, o conjunto-universo dos segundos elementos dos pares ordenados que pertencem à função f, ou seja, o conjunto dos potenciais valores de y. Há, ainda, a definição de um terceiro conjunto, que é subconjunto de B. Trata-se do conjunto imagem da função: o conjunto dos segundos elementos dos pares ordenados que, efetivamente, pertencem à função f, ou seja, o conjunto de valores de y que possuem valores de x a eles relacionado.

Toda função possui uma lei que a define, podendo ser uma expressão analítica simples ou, por outro lado, expressões que, talvez, pareçam artificiais. No entanto, tais funções podem surgir naturalmente através dos processos do Cálculo. Dada uma função f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados zeros ou raízes da função f.

Quanto ao conceito de limite, há uma ideia intuitiva que o interpreta como "tendência". Por exemplo, a função exponencial f(x) = 2x tende a assumir o valor zero (ou se aproxima cada vez mais de zero) quando x tende a um valor de módulo crescente e sinal negativo (ou seja, quando x se aproxima de menos infinito).

Outra forma de se pensar o limite intuitivamente é pensando neste como resultado finito da soma de infinitos termos. O caso clássico que serve de exemplo é o da área do quadrado de lado 1. Se somarmos as áreas da metade do quadrado, com a da metade da outra metade, com a metade da outra metade da metade, e assim, sucessivamente, teremos uma soma limitada, de valor 1, com infinitas parcelas, já que sempre poderemos somar a metade do pedaço que sobra, indefinidamente.

Por fim, podemos definir uma função como contínua em um ponto x0 quando x0 pertence ao domínio da função e o limite da função f(x) quando x tende a x0 coincide com o valor f(x0). Desta forma, percebe-se que a continuidade de uma função é determinada ponto a ponto, embora possa ser generalizada para um intervalo.

Fazendo uso da primeira noção intuitiva de limite aqui apresentada, podemos entender o conceito de limite como útil para a determinação de um valor de y que não pode ser obtido diretamente por meio da aplicação da função a um certo valor de x porque esse x não pertence ao seu domínio. Por exemplo, a função f(x) = (x²+x)/x não tem o valor x = 0 em seu domínio. No entanto, é possível concluir que a função tende a assumir o valor 1 quando x tende a zero, já que x pode ser posto como termo em evidência no numerador da lei da função.

Este limite igual a 1 quando x tende a zero pode ser verificado tanto quando x se aproxima de zero por valores positivos, quanto quando se aproxima de zero por valores negativos. Chamamos estes limites, que podem ser iguais ou diferentes, de limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente. Por fim, percebemos que a continuidade de uma função em um certo ponto x0 depende de os limites laterais serem iguais para aquele ponto.

O conceito de limite aplicado para o quociente (Δf(x) / Δx) quando Δx tende a zero leva a um campo de estudos e de aplicações vastíssimo, chamado Cálculo Diferencial. Trata-se, sem dúvida, da maior aplicação do conceito de limite na Matemática.


Cultura Secular

Revista de divulgação científica e cultural do Secular Educacional.

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Daniel Perdigão Nass
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Jornalista responsável
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ISSN 2446-4759