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John Conway em 2005: uma revolução no infinito

O conceito de infinito tem diversas interpretações e aplicações, dependendo da área do conhecimento. Para crianças, o infinito é frequentemente visto como o maior número possível. Na fotografia, o infinito pode ser associado à distância que está além da lente da câmera, enquanto no campo da astronomia, é uma questão relacionada ao tamanho do universo. O infinito também é abordado pela arte, através da repetição ou da ideia de continuidade sem início ou fim, e pela religião, que o associa à eternidade. Em política, o infinito é percebido como o conservadorismo, a ideia de que as coisas devem permanecer imutáveis para sempre. No entanto, o infinito tem um significado matemático muito mais profundo, sendo uma das áreas mais estudadas pelos matemáticos.

O símbolo do infinito, ∞, foi sugerido por John Wallis no século XVII, e sua utilização se expandiu para diversas outras áreas. Na Matemática, o conceito de infinito se divide em diferentes definições, dependendo do ramo em que é aplicado. O infinito, especialmente em sua versão infinitesimal, é fundamental para o Cálculo Diferencial e Integral, além de ser uma ferramenta importante em áreas como a Combinatória. Embora o infinito seja um conceito abstrato, ele está presente no nosso pensamento cotidiano, pois a mente humana busca padrões e continuidades, o que pode nos levar a enxergar o infinito onde ele não existe, gerando interpretações errôneas e paradoxos lógicos.

Historicamente, a primeira palavra para o infinito foi “apeiron”, criada por Anaximandro, filósofo grego do século VI a.C., que o usou para descrever uma substância primordial, eterna e inesgotável. Zenão de Eleia, mais tarde, apresentou paradoxos matemáticos envolvendo o infinito, como uma maneira de apoiar as ideias filosóficas de Parmênides sobre a imobilidade e a identidade. Esses paradoxos, embora tenham sido resolvidos na Matemática moderna, ainda geram discussões filosóficas sobre a natureza do movimento e do tempo.

Aristóteles, em sua obra, diferenciou o infinito em dois tipos: o “potencial”, que se refere a uma grandeza que pode crescer indefinidamente, e o “real”, que seria uma grandeza infinita completa. A teoria dos conjuntos infinitos, desenvolvida por Georg Cantor no século XIX, desafiou a visão aristotélica, mostrando que existem diferentes tipos de infinito, que podem ser comparados entre si. A visão de Cantor e seus contemporâneos, como Richard Dedekind, foi revolucionária, ao demonstrar que, por meio de construções rigorosas, podemos entender o infinito como um objeto matemático bem definido.

No estudo da Matemática, o infinito também surge de maneira mais tangível quando se consideram números racionais e irracionais. Os números racionais formam um conjunto discreto, enquanto os números reais formam um conjunto contínuo, e os racionais, embora infinitamente divisíveis, não são contínuos, pois existem lacunas entre eles. Cantor desenvolveu a teoria de conjuntos infinitos, provando que há diferentes níveis de infinito, sendo alguns maiores que outros. Isso foi ilustrado com a ideia de correspondência biunívoca entre conjuntos.

A Geometria também é influenciada pelo conceito de infinito, como demonstrado pelos métodos de Arquimedes, que aproximou o valor de π (pi) por meio de polígonos com número crescente de lados. O conceito de infinitesimais, que foi retomado no século XVII com o desenvolvimento do Cálculo por Newton e Leibniz, permite tratar de áreas sob curvas e taxas de variação instantâneas, por exemplo.

O estudo de objetos geométricos, como as curvas fractais, revelou a complexidade do infinito na natureza. Benoît Mandelbrot, ao estudar formas naturais como montanhas e nuvens, identificou padrões que podem ser descritos de maneira simples através de processos repetitivos que se aproximam do infinito. As construções fractais geram formas complexas e bonitas, mostrando como o infinito pode ser representado visualmente.

No século XX, o estudo do infinito continuou a evoluir, com descobertas como os números surreais, propostos por John Conway, que unificaram diferentes noções de infinito. Esses números foram uma tentativa de criar uma ordem contínua para números infinitesimais, sem as contradições que surgem em outras abordagens. A análise não padronizada, desenvolvida por Abraham Robinson, também contribuiu para o uso dos infinitesimais sem contradições, permitindo simplificar certos aspectos do Cálculo.

As descobertas de Kurt Gödel, com seus teoremas da incompletude, mostraram que a consistência da teoria dos conjuntos não pode ser provada dentro do próprio sistema. Isso abriu novas questões sobre a natureza do infinito e sua relação com a Matemática. Além disso, Cantor introduziu os números transfinitos, que são usados para medir o tamanho de conjuntos infinitos. Esses conceitos geraram novas formas de entender o infinito e levaram a avanços significativos na teoria dos conjuntos.

Em última análise, o infinito é um conceito fundamental para a Matemática e continua sendo objeto de estudo, desafiando os matemáticos a desenvolver novas maneiras de compreendê-lo. Seu uso não se limita à simples abstração, mas se estende à prática matemática, influenciando teorias e soluções para problemas complexos. O infinito, com sua beleza e mistério, permanece um dos conceitos mais fascinantes e ricos da Matemática.